sábado, 23 de mayo de 2009

Estimando mean reversion

Supongamos que queremos estimar si un determinado valor (por ejemplo el ratio del precio de dos acciones) sigue un proceso de mean reversion.
El approach más simple que podemos tomar es suponer que sigue un proceso de OU, donde, si x es ls variable que sigue el proceso, entonces

dx=\theta (\mu - x)dt + \sigma dW_t \\

donde theta es la velocidad de reversion a la media, mu es la media, sigma es el desvio y W es un proceso de Wiener.
Si discretizamos el proceso, obtenemos que

\delta x_t = \theta ( \mu - x_{t-1} ) + \epsilon_t

donde epsilon es ruido gaussiano. Si lo reordenamos obtenemos

x_t= \theta \mu + (1 - \theta) x_{t-1} + \epsilon_t

y esto es un proceso AR(1), el cual puede ser estimado por OLS siempre que sea estacionario, y para esto no debe tener raíces unitarias. Puede verse facilmente que existe mean reversion si y solo si NO existen raíces unitarias, debido a que theta (velocidad de reversión) distinta de cero si y solo 1-theta (parametro del lag) distinto de 1.
Podemos hacer un test de unit root para rechazar la hipotesis nula de existencia de raíces unitarias (estando seguros de esta manera de que existe mean reversion) y luego estimar por OLS los parámetros del proceso, ya que hay un mapeo uno a uno entre los coeficientes de

x_t = \alpha + \beta x_{t-1} + \epsilon_t

y los del proceso original (el mapeo is left as an exercise to the reader, jej)

10 comentarios:

Anónimo dijo...

los peronistas MEAN sobre los demas?

JMT dijo...

Yo diría que claramente si, pero el proceso no presenta mean reversion, porque nunca los demás mean sobre los peronistas

Anónimo dijo...

Gran verdad. Entonces, se podria decir que la orina de los peronistas no regresa a la media cuadrática, es decir, no converge en la Norma (o seminorma?)de L2?

JMT dijo...

Claramente no converge en ninguna norma, ya que los peronistas se mean sobre las normas

Anónimo dijo...

Notoria verdad. Entonces, se podría decir que la convolucion de distribuciones (correspondientes a variables aleatorias), respecto de su correspondiente producto de Funciones Caracteristicas (operadores unitarios), al utilizar la transformacion de Legendre y sus polinomios ortonormales para definir un Núcleo, todo esto previo al analisis de la existencia o no de Isometria (y la divergencia en Norma), conduce a decir que los peronistas estan del orto?

Anónimo dijo...

anybody home?

JMT dijo...

Ese enunciado es parte de los axiomas. No necesita demostración

Anónimo dijo...

Gran veracidad. Me pregunto entonces, si no habría que poner dentro del conjunto de axiomas, ademas del Axioma de Elección (Lema de Zorn), y de dicho enunciado, también el "denunciado"...

Aparte de esto, le recuerdo que en los procesos MA, se establece cierto isomorfismo "de orden" entre el campo de números complejos y el de los Reales (que es intrínsecamente ordenado)...es en parte por ello, que son "estacionarios"...

La cantante de Plant dijo...

Me da bronca no entender una goma y no poder defender a mis compañeros peronistas. La verdad que la discusión me ha superado completamente...

Y desde cuando una t(h)eta es "la velocidad de reversion a la media". En que mundo pueden quitarle tanta belleza a la vida!
Saludos

JMT dijo...

Cantante, mira el signito de Theta mayúscula (también conocido como "Theton") y vas a ver que los griegos no eran boludos