viernes, 4 de noviembre de 2011

Porque está mal modelar el PBI sin autocorrelación para valuar el cupón

Hay algunos modelos dando vueltas que en el Montecarlo suponen que los cambios en el PBI tienen alguna distribucion iid (generalmente normal) sin tener en cuenta la autocorrelacion (ac) de un período a otro, o sea, lo modelan el log pbi (o peor aún, los cambios simples!) como un random walk.
Para facilitar el tema, supongamos que solo quedan dos posibles períodos.
En casi todos los modelos, el valor teórico del cupón es la media Montecarlo del valor de los flujos descontados. El hecho del descuento no influye en este asunto, y lo dejamos de lado. También asumimos que en ningún caso vamos a tocar el techo (se puede introducir fácil, pero solo oscurece el asunto)
Notemos como g1 y g2 a los crecimientos de los dos períodos, y notemos p() a la función que dado el crecimiento de ese año, me da el pago.
Entonces el valor teórico del cupón, es \[E(v) = E(p(g1)+p(g2))=E(p(g1))+E(p(g2))\] donde v =p(g1)+p(g2) es el valor en cada simulación.
Hasta aquí la autocorrelación entre g1 y g2 no influye, pero si calculamos su varianza (una medida de riesgo) \[V(v) = V(p(g1)+p(g2)) = V(p(g1)) + V(p(g2)) + 2 Cov(p(g1),p(g2))\]
Como p() es creciente, y como g1 y g2 tienen autocorrelacion positiva (crecimientos de PBI generalmente se ven sucedidos por crecimientos, es más probable crecer luego de un año en el que creciste) entonces la varianza del valor teórico es mayor en un modelo que toma en cuenta la autocorrelación que en uno que no lo tiene. Luego, los modelos sin autocorrelación estan subestimando el riesgo del cupón. Remarco la presencia de la función p porque es no lineal (si g menor a caso base entonces p=0) y este es otro factor importante. Obviamente que V(p(g)) != p(V(g)). Ahora la pregunta que les dejo es, supongan que p es una función partida del tipo \[ p = 0 \quad \text{si} \; g < k \qquad p = cg \quad \text{si} \;g>=k}\] con c mayor a 0 En este caso, ¿V(p(g)) mayor a p(V(g)) o al revés?